Происхождение формул покупки и продажи монет

Материал из Minter Wiki

Minter имеет одно существенное отличие от других блокчейнов — возможность создание новых монет только с резервированием за счет BIP, базовой валюты сети, добываемой валидаторами за сформированные блоки. Нет лучшей валюты, чем та, чья система платит за ее поддержание — это и есть настоящие цифровые деньги, а не оцифрованные (pegged) и привязанные к внешним активам (asset-backed).Такой подход с резервированием создает то, называется «сетью ликвидности» (network of liquidity), потому что любые монеты можно поменять на другие мгновенно и без ограничений. Подобные операции проводятся с использованием математических формул,разработанных экономистом Джоном Кейнсом и любезно доработанных сетью Bancor. Ниже проведен подробный анализ вывода формул.

Формулы покупки и продажи монет

Введем:

R - резерв, измеряемый в единицах базовой монеты, на сегодняшний день, это только BIP.

S - эмиссия (количество выпущенных монет).

F - коэффициент постоянного резервирования(определяет как сильно будет меняться резерв R при покупке/продаже какого-то количества монет). Общая рыночная капитализация (Market Value) будет равна SP, а резерв R по определению равен FSP.

   R = FSP

Это означает, что цена в любой момент может быть рассчитана как :

Price bancor.png

Заметим, что Minter формирует цену иначе, в данной статье описывается ценообразование блокчейна. Когда пользователь покупает бесконечно малое число монет dS, на это число увеличивается предложение этих монет (эмиссия). Напомним, что P - это цена монеты. Пользователь платит за них PdS BIP, это число добавляется к резерву, то есть приращение резерва: dR = PdS . Объясним этот неочевидный момент на графике зависимости цены монеты от ее эмиссии:

Рассмотрим график зависимости цены монеты от ее эмиссии

PriceFromEmission.png

Площадью под графиком является резерв монеты R и чтобы его рассчитать нужно взять определенный интеграл :

ReserveFromgraph.png

где P(s) - это функция цены, зависящая от эмиссии, a S1 и S2 - это начальное и конечное значение эмиссии.

Нам же нужно узнать чему будет равно dR:

DR.png

В то же время R = FSP.

Продифференцируем это выражение :

Выносим константу за знак дифференциала

DR1.png

По формуле дифференциала произведения:

d(u(x)*v(x)) = d(u(x))*v(x) + u(x)*d(v(x))

Fd.png

Получаем:

DR2.png

Приравниваем эти значения:

PdS.png

Делим все выражение на константное значение F и выносим общий множитель,

SdP.png

Пусть α:

Alpha.png

теперь подставим 'a' в наше выражение:

PdSa.png

Поделим уравнение на SP :

Adss.png

После интегрирования обеих частей получаем решение этого уравнения в неявной форме:

LogP.png

По свойству логарифма заносим α в степень S, а коэффициент А представим в виде степени аргумента натурального логарифма:

Lnea.png

получаем:

LogS1.png

Теперь опустим логарифмы.

P=e^AS^a.png

Мы получили решение дифференциального уравнения в общем виде, т.к. коэффициент A может быть любым числом. Теперь составим задачу Коши и найдем этот коэффициент:

Задача Коши в общем виде выглядит как: y(x0)=y0, тогда для нашего случая будет: P(s0)=P0

Подставим в наше уравнение:

P 0=e^AS 0^a.png

Выражаем экспоненту в степени A:

E^A=P0-S0^a.png
P=(S-S0)^aP0.png

Эта формула позволит рассчитать текущую цену, зная начальную цену и текущую и начальную эмиссию монет. Если пользователь покупает в общей сложности T монет, то эмиссия увеличивается на Т (S = S0 + T) , а стоимость этих Т монет будет:

IntegralE.png

Проинтегрировав данное выражение в итоге мы получаем формулу покупки монет:

Формула покупки монет.png

Рассуждая таким же образом можно вывести формулу для продажи монет.